已知函数f(x)=2x+alnx，a∈R．若a=4，求函数f的单调区间；若函数f在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；记函

题文

已知函数f(x)=2x+alnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记函数g（x）=x²f'（x）+2x³，若函数g（x）的最小值为-2-82，求函数f（x）的解析式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为f(x)=2x+4lnx
所以f′(x)=-2x2+4x=4x-2x2
当0＜x＜12时，f'（x）＜0，∴递减区间为（0，12）；
当x＞12时，f'（x）＞0，∴递增区间为(12，+∞)
（Ⅱ）令f′(x)=-2x2+ax≥0
∴ax≥2x2
又∵x≥1
∴a≥2x恒成立
又因为2x≤2在x[1，+∞）上恒成立
∴a≥2
（Ⅲ）∵g(x)=x2(-2x2+ax)+2x3=2x3+ax-2（x＞0）
∴g'（x）=6x²+a
当a≥0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值；
∴a＜0
令g'（x）=0则x0=-a6⇒a=-6x₀²
当0＜x＜x₀时，g'（x）＜0，g（x）递减；
当x＞x₀时，g'（x）＞0，g（x）递增；
∴当x=x₀时，g（x）取最小值-2-82．
g(x0)=2x30+ax0-2=2x30-6x20•x0-2=-4x30-2=-82-2
∴x30=22
∴x0=2
∴a=-12
∴f(x)=2x-12lnx

解析

2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x+alnx，a∈R.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。