已知函数f是二次函数，不等式f＜0的解集是，且f在[0，4]上的最大值是8，求f的解析式．若g(x)=kx-1，当

题文

已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（2，4），且f（x）在[0，4]上的最大值是8，
（1）求f（x）的解析式．
（2）若g(x)=kx-1，当关于x的方程f（x）=g（x）有且只有一个根时，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（2，4）
∴可设f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）
∴f（x）图象的对称轴为x=3
∴f（x）在[0，4]上的最大值是f（0）
∵f（x）在[0，4]上的最大值是8
∴f（0）=8a=8
∴a=1
∴f（x）=x²-6x+8
（2）方程f（x）=g（x）恒等变形为x³-6x²+9x-k=0（x≠0）
设F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）
则F′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴当x∈（-∞，1）∪（3，+∞）时，F'（x）＞0
  当x∈（1，3）时，F′（x）＜0
∴F（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上递减
∴当x=1时，F（x）取得极大值4
  当x=3时，F（x）取得极小值0      
又∵F（0）=0
∴当方程x³-6x²+9x-k=0（x≠0）有且只有一个根时k≤0或k＞4

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。