已知二次函数y=f的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为，且f=-13，数列{an} 的前n项的和为Sn，点在函数y=f

题文

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为（23，0），且f（13）=-13，数列{a_n} 的前n项的和为S_n，点（n，S_n）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n} 的通项公式；
（3）设b_n=an2n，求数列 {b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）…（1分）
由条件可知f(0)=0f(23)=0f(13)=-13，…（2分）
解得a=3，b=-2，c=0，…（3分）
∴f（x）=3x²-2x．…（4分）
（2）又点（n，S_n）在函数y=f（x）的图象上，则S_n=3n²-2n…（5分）
当n=1时，a₁=S₁=3-2=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5…（6分）
对于上式，当n=1时，也有a₁=1，…（7分）
所以通项公式为a_n=6n-5…（8分）
（3）由（2）知a_n=6n-5，b_n=an2n=6n-52n…（9分）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=6-52+6×2-522+6×3-523+…+6×(n-1)-52n-1+6n-52n    ①
①×12得，12Tn=6-522+6×2-523+6×3-524+…+6×(n-1)-52n+6n-52n+1  ②---（11分）
①-②有12Tn=12+622+623+…+62n-6n-52n+1
=12+6122(1-12n-1)1-12-6n-52n+1=72-3(12)n-1-6n-52n+1--------------------（13分）
∴T_n=7-3(12)n-2-6n-52n=7-6n+72n--------------------（14分）

解析

f(0)=0f(23)=0f(13)=-13

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。