已知函数f=x2-2ax-3a2，若a=1，求函数f的值域；若对于任意x∈[1，4a]时，-4a≤f≤4a恒成立，求实

题文

已知函数f（x）=x²-2ax-3a²，（a＞14）
（1）若a=1，求函数f（x）的值域；
（2）若对于任意x∈[1，4a]时，-4a≤f（x）≤4a恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a=1，
∴函数f（x）=x²-2ax-3a²=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，
故函数的值域为[-4，+∞）．
（2）函数f（x）=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，对称轴为 x=a．
当a≥1时，在区间[1，4a]上，函数f（x）最小值为-4a²，最大值为5a²，由题意得
-4a²≥-4a 且 5a²≤4a，显然 a无解．
当1＞a＞14时，函数f（x）在[1，4a]上是增函数，最小值为1-2a-3a²，最大值为 5a²，
由题意得1-2a-3a²≥-4a  且 5a²≤4a．  解得  14a≤45，故实数a的取值范围为 (14，45]．

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-2ax-3a2，.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）