已知函数f=ax2+bx满足条件f=f，且函数g=f-x只有一个零点．求函数f的解析

题文

已知函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1-x）=f（1+x），且函数g（x）=f（x）-x只有一个零点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域为[m，n]时，f（x）的取值范围是[3m，3n]． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为二次函数f（x）=ax²+bx满足条件f（1-x）=f（1+x），
所以函数f（x）图象的对称轴是直线x=1．所以-b2a=1，即b=-2a． …2分
因为函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，即ax²-（2a+1）x=0有等根．
所以△=（2a+1）²=0．…4分
即a=-12，b=1．所以f （x）=-12x²+x．      …6分
（Ⅱ）①当m＜n＜1时，f （x）在[m，n]上单调递增，f （m）=3m，f （n）=3n，
所以m，n是-12x²+x=3x的两根．
解得m=-4，n=0；                    …8分
②当m≤1≤n时，3n=12，解得n=16．不符合题意；  …10分
③当1＜m＜n时，f （x）在[m，n]上单调递减，所以f （m）=3n，f （n）=3m．
即-12m²+m=3n，-12n²+n=3m．
相减得-12（m²-n²）+（m-n）=3（n-m）．
因为m≠n，所以-12（m+n）+1=-3．所以m+n=8．
将n=8-m代入-12m²+m=3n，
得-12m²+m=3（8-m）．但此方程无解．
所以m=-4，n=0时，f （x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．…14分．

解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+bx（a，b为.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）