如图所示，已知圆C：2+y2=8，定点A，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP，NP⊥AM，点N的轨迹为曲线E．（

题文

如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP，NP⊥AM，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FG=12FH，求直线l的方程；
（3）设曲线E的左右焦点为F₁，F₂，过F₁的直线交曲线于Q，S两点，过F₂的直线交曲线于R，T两点，且QS⊥RT，垂足为W；
（ⅰ）设W（x₀，y₀），证明：x202+y20＜1；
（ⅱ）求四边形QRST的面积的最小值．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵NP为AM的中垂线
∴NA=NM
∴NA+NC=CM=22
∴N的轨迹为A，C为焦点的椭圆2a=22
∴a=2，c=1
∴b=1
∴方程为x22+y2=1
（2）当λ=12时，即G为FH中点时，设G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）
∴x2=2x1y2=2(y1-1)，代入椭圆得y2=5×12-34×12=-14，
∴x22=158
∴x2=±304
∴y=±33010x+2
（3）（i）∵由过F₁的直线交曲线于Q，S两点，过F₂的直线交曲线于R，T两点，且QS⊥RT
∴W在以F₁F₂为直径的圆上，F₁F₂=2
∴x₀²+y₀²=1
∴x022+y02＜x02+y02=1
（ii）设QS的方程为y=k（x+1）（当k存在且不为0时）
 代入x22+y2=1
∴（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
 设Q（x₃，y₃），S（x₄，y₄）
∴x3+x4=-4k21+2k2，x3x4=2k2-21+2k2，
∴|QS|=1+k2|x3-x4|=221+k21+2k2，
∵QS⊥RT
∴KRT=-1k，同理，|RT|=22•k2+1k2+2
∴S=12RT•QS=4•(1+k2)2(1+2k2)(k22)≥4•(1+k2)(1+2k2+k2+22)2=169（当且仅当k²=1时，取等号）
当k不存在或k=0时，S=2
∵169＞2
∴Smin=2

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）