已知函数f(x)=x+1x，x∈[-2，-1)-2，x∈[-112)x-1x，x∈[12，2]求f的值域设函数g=ax-2，x∈[-2，

题文

已知函数f(x)=x+1x，x∈[-2，-1)-2，x∈[-112)x-1x，x∈[12，2]
（1）求f（x）的值域
（2）设函数g（x）=ax-2，x∈[-2，2]，对于任意x₁∈[-2，2]，总存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当x∈[-2，2]时，f(x)=x+1x在[-2，-1)上是增函数，此时f(x)∈[-52，-2)
当x∈[-1，12)时，f(x)=-2
当x∈[12，2]时，f(x)=x-1x在[12，2]上是增函数，此时f(x)∈[-32，32]∴f(x)的值域为[-52，-2]∪[-32，32]
（2）①若a=0，g（x）=-2，对于任意x1∈[-2，2]，f(x1)∈[-52，-2]∪[-32，32]，不存在x0∈[-2，2]，使g(x0)=f(x1)
②当a＞0时，g（x）=ax-2在[-2，2]是增函数，g（x）∈[-2a-2，2a-2]
任给x1∈[-2，2]，f(x1)∈[-52，-2]∪[-32，32]
若存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立
则[-52，-2]∪[-32，32]⊆[-2a-2，2a-2]∴-2a-2≤-522a-2≥32，∴a≥74
③a＜0，g（x）=ax-2在[-2，2]是减函数，g（x）∈[2a-2，-2a-2]∴2a-2≤-52-2a-2≥32，∴a≤-74
综上，实数a∈(-∞，-74]∪[74，+∞)

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x+1x，x∈[-2，.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）