已知P是抛物线y2=2x上的点，点M，试求点P与点M的距离的最小值．

题文

已知P是抛物线y²=2x上的点，点M（m，0），试求点P与点M的距离的最小值（其中m∈R）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设P点坐标为（x₀，y₀），
则d=|PM|=(x0-m)2+(y0-0)2
=x02+y02-2mx0+m2
=x02+(2-2m)x0+m2(x0≥0)
令t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）则其对称轴为x₀=m-1
（1）当m-1＜0即m＜1时
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²在x₀≥0时为增函数，
所以dmin=t|x0=0=|m|=m
（2）当m-1≥0即m≥1时，
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）在（0，m-1）上递减，在（m-1，+∞）上递增，
所以：dmin=t|xo=m-1=2m-1
综上所述，当m＜1，点P与点M的距离的最小值为m；
          当m≥1，点P与点M的距离的最小值为2m-1．

解析

(x0-m)2+(y0-0)2

考点

据考高分专家说，试题“已知P是抛物线y2=2x上的点，点M（m.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）