已知函数f=loga1-mxx-1是奇函数．当x∈时，函数f的值域是，求实数a与n的值；（

题文

已知函数f（x）=log_a1-mxx-1（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．
（1）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值；
（2）令函数g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5，a≥8时，存在最大实数t，使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立，请写出t与a的关系式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知条件得f（x）+f（-x）=0对定义域中的x均成立．
∴logmx+1-x-1a+log1-mxx-1a=0．
即 mx+1-x-1  1-mxx-1 =1∴m²x²-1=x²-1对定义域中的x均成立．
=1，m=1（舍去）或=-1，∴m=-1．
∴f（x）=logx+1x-1a（x＜-1或x＞1）
设t=x+1x-1=1+2x-1，
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1），
∴①当n＜a-≤-1时有0＜a＜1．
∴f（x）在（n，a-2）为增函数，
要使值域为（1，+∞），
则logn+1n-1a=1a-2=-1（无解）；
②当1≤n＜a-2时有a＞3．
∴f（x）在（n，a-2）为减函数，
要使f（x）的值域为（1，+∞），则loga-1a-3a=1n=1，
∴a=2+3，n=1．
（2）g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-ax²+8（x+1）-5=-a（x-4a）²+3+16a
则函数y=g（x）的对称轴x=4a，∵a≥8∴x=4a∈(0，12]．
∴函数y=g（x）在（1，t]上单调减．
则1＜x≤t，有g（t）＜g（x）＜g（1）
∵g（1）=11-a，又∵a≥8，∴g（1）=11-a≤3＜5．
∵t是最大实数使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立
∴-at²+8t+3=-5即at²-8t-8=0．

解析

logmx+1-x-1a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=loga1-mxx-1.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）