题文
已知函数f（x）=1+a•(12)x+(14)x；g（x）=1-m•2x1+m•2x．（I）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域；
（II）若对任意x∈[0，+∞），总有|f（x）|≤3成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若m＞0（m为常数），且对任意x∈[0，1]，总有|g（x）|≤M成立，求M的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）当a=1时，f（x）=1+(12)x+(14)x；因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞）
（II）由题意知，对任意x∈[0，+∞），总有-3≤f（x）≤3成立．
∴-4-(14)x≤a•(12)x≤2-(14)x
∴-4•2x-(12)x≤a≤2•2x-(12)x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4•2x-(12)x]max≤a≤[2•2x-(12)x]min
设2x=t，则t≥1，设h（t）=-4t-1t，p（t）=2t-1t，
∴h′(t)=-4+1t2＜0，p′（t）=2+1t2＞0
∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增
∴在[1，+∞）上，h（t）max=h（1）=-5，p（t）min=p（1）=1
∴实数a的取值范围为[-5，1]；
（Ⅲ）g（x）=1-m•2x1+m•2x=-1+21+m•2x．
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上递减
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即1-2m1+2m≤g(x)≤1-m1+m
①当|1-2m1+2m|≤|1-m1+m|，即m∈（0，22]时，|g(x)|≤|1-m1+m|，此时，M≥|1-m1+m|
②当|1-2m1+2m|＞|1-m1+m|，即m∈（22，+∞）时，|g(x)|≤|1-2m1+2m|，此时，M≥|1-2m1+2m|
综上所述，m∈（0，22]时，M的取值范围为[|1-m1+m|，+∞)；m∈（22，+∞）时，M的取值范围为[|1-2m1+2m|，+∞)．
解析
12考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=1+a•(12)x+(.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
