已知函数f=|x|x+2判断函数f在区间上的单调性并加以证明；求函数f的值域；如果关于x的方程f=kx3有

题文

已知函数f（x）=|x|x+2
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并加以证明；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）如果关于x的方程f（x）=kx³有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=2(x2-x1)(x2+2)(x1+2)＞0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
（2）当x≥0时，f（x）=xx+2＞0，
又，
∴xx+2＜1，即0≤f（x）＜1；
当x＜0（x≠-2）时，f（x）=-xx+2=y，
∴x=-2yy+1，由x＜0，得
y＜-1或y＞0．
∴f（x）的值域为（-∞，-1）∪[0，+∞）．
（3）当x=0时，f（x）=kx³，
∴x=0为方程的解．
当x＞0时，xx+2=kx3，∴kx²（x+2）=1，∴x2(x+2)=1k，
当x＜0时，-xx+2=kx3，∴kx²（x+2）=-1，∴-x2(x+2)=1k，
即看函数g（x）=x2(x+2)，(x＞0)-x2(x+2)，(x＜0，x≠-2)
与函数h（x）=1k图象有两个交点时k的取值范围，应用导数画出g（x）的大致图象，
∴1k＞-3227，
∴k＜-2732或k＞0．

解析

2(x2-x1)(x2+2)(x1+2)

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=|x|x+2（1）判断.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）