函数f=xax+b，满足f=1，且方程f=x有且仅有一个解．求a、b的值；是否存在实常数m，使得对定义域中任

题文

函数f（x）=xax+b（a，b是非零实常数），满足f（2）=1，且方程f（x）=x有且仅有一个解．
（1）求a、b的值；
（2）是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立？为什么？
（3）在直角坐标系中，求定点A（-3，1）到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（2）=1得2a+b=2，又x=0一定是方程xax+b=x的解，
所以1ax+b=1无解或有解为0，（3分）
若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，
若有解为0，则b=1，所以a=12． （6分）
（2）f（x）=2xx+2，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，
取x=0，则f（0）+f（m-0）=4，即2mm+2=4，m=-4（必要性）（8分）
又m=-4时，f（x）+f（-4-x）=2xx+2+2(-4-x)-4-x+2=…=4成立（充分性） （10分）
所以存在常数m=-4，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，（11分）
（3）|AP|²=（x+3）²+（x-2x+2）²，设x+2=t，t≠0，（13分）
则|AP|²=（t+1）²+（t-4t）²=t²+2t+2-8t+16t2=（t²+16t2）+2（t-4t）+2=（t-4t）²+2（t-4t）+10
=（ t-4t+1）²+9，（16分）
所以当t-4t+1=0时即t=-1±172，也就是x=-5±172时，
|AP|_min=3 （18分）

解析

xax+b

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）=xax+b（a，b是非零实.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）