函数y=f是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f=2x-x2，求x＜0时，f的解析式；问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时

题文

函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²，
（Ⅰ）求x＜0时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[1b，1a]？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）任取x＜0，得-x＞0，故有f（-x）=-2x-x²
又函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，有f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-2x-x²
∴x＜0时，f（x）=2x+x²；
（Ⅱ）∵当x＞0时，f（x）=-（x-1）²+1≤1，
若存在这样的正数a，b，则当x∈[a，b]时，[f(x)]max=1a≤1⇒a≥1，
∴f（x）在[a，b]内单调递减，
∴1b=f(b)=-b2+2b1a=f(a)=-a2+2a⇒a，b是方程x³-2x²+1=0的两正根，
∵x³-2x²+1=（x-1）（x²-x-1）=0，
∴x1=1，x2=1+52，
∴a=1，b=1+52．

解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）