若函数f在定义域内存在区间[a，b]，满足f在[a，b]上的值域为[a，b]，则称这样的函数f为“优美函数”．判断函数f(x)=x是否为

题文

若函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，满足f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称这样的函数f（x）为“优美函数”．
（Ⅰ）判断函数f(x)=x是否为“优美函数”？若是，求出a，b；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若函数f(x)=x+t为“优美函数”，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由于函数f(x)=x是增函数，则得a=ab=b，
因为a＜b，所以a=0b=1；
（Ⅱ）由于函数f(x)=x+t为“优美函数”，则得方程x+t=x有两实根，
设x=m (m≥0)，所以关于m的方程m+t=m²即t=m²-m在[0，+∞）有两实根，
即函数y=t与函数y=(m-12)2-14的图象在[0，+∞）上有两个不同交点，
∴-14＜t≤0．

解析

x

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）在定义域内存在区间[a，b.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）