已知函数f(x)=xm-4x，且f=3．判断f在上的单调性，并给予证明；已知函数y=lg的定义域为M，求

题文

（1）已知函数f(x)=xm-4x，且f（4）=3．判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；
（2）已知函数y=lg（-x²+4x-3）的定义域为M，求函数f（x）=4^x-2^x+3+4（x∈M）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（4）=3，∴4^m-1=3，解得，m=1，∴f(x)=x-4x，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=
x1-4x1-x2+4x2=（x₁-x₂）（1+4x1x2）
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1+4x1x2＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f(x)=x-4x在（0，+∞）上为增函数．
（2）由-x²+4x-3＞0得，x^2-4x+3＜0，解得1＜x＜3，即，
M={x|1＜x＜3}，又f（x）=4^x-2^x+3+4=（2^x）²-8×2^x+4
令t=2^x，∵x∈（1，3），∴t∈（2，8）
f（x）=g（t）=t²-8t+4   t∈（2，8）
由配方得，g（t）=（t-4）²-12   t∈（2，8）
∴f（x）_min=g（4）=-12  又g（8）=4
故函数f（x）的值域为[-12，4）

解析

4x

考点

据考高分专家说，试题“（1）已知函数f(x)=xm-4x，且f.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）