已知函数f(x)=a|x|+2ax(x∈R，a＞1），求函数f的值域；记函数g=f，x∈[-2，+∞]，若g的最小值与a无

题文

已知函数f(x)=a|x|+2ax(x∈R，a＞1），
（1）求函数f（x）的值域；
（2）记函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞]，若g（x）的最小值与a无关，求a的取值范围；
（3）若m＞22，直接写出（不需给出演算步骤）关于x的方程f（x）=m的解集． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）①x≥0时，∵ax≥1，f(x)=a|x|+2ax=ax+2ax≥22，
当且仅当ax=2ax，即ax=2＞1时等号成立；
②x＜0，∵a＞1，∴0＜ax＜1，∴f(x)=3ax＞3，
由①②知函数f（x）的值域为[22，+∞)．
（2）g（x）=f（-x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），
①x≥0，∵a＞1，∴a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）≥3，
②-2≤x＜0时，∵a＞1，1a2≤ax＜1，g(x)=a-x+2ax，
令t=a^x，则g(x)=2t+1t，记h(t)=2t+1t.(1a2≤t＜1)，h(t)=2t+1t≥22，当且仅当2t=1t，t=22时等号成立，
（i）1a2≤22，即a≥42时，结合①知g(x)min=22与a无关；
（ii）1a2＞22，即1＜a＜42时，h′(t)=2-1t2≥2-a4＞0，∴h（t）在[1a2，1)上是增函数，g(x)min=h(t)min=h(1a2)=a2+2a2＜3，
结合①知g(x)min=a2+2a2与a有关；
综上，若g（x）的最小值与a无关，则实数a的取值范围是a≥42．
（3）①22＜m≤3时，关于x的方程f（x）=m的解集为{x|x=logam±m2-82}；
②m＞3时，关于x的方程f（x）=m的解集为{x|x=logam+m2-82或x=loga3m}．

解析

2ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a|x|+2ax(x∈.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）