已知f(x)=x+bx-3，x∈[1，2]．b=2时，求f的值域；若b为正实数，f的最大值为M，最小值为m，且满足：M-m≥4，求b的取

题文

已知f(x)=x+bx-3， x∈[1，2]．
（1）b=2时，求f（x）的值域；
（2）若b为正实数，f（x）的最大值为M，最小值为m，且满足：M-m≥4，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当b=2时，f(x)=x+2x-3，x∈[1，2]，
因为f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增，…（2分）
所以f（x）的最小值为f(2)=22-3，…（4分）
又因为f（1）=f（2）=0…（5分）
所以f（x）的值域为[22-3，0]…（6分）
（2）①当0＜b＜2时，f（x）在[1，2]上单调递增，
则m=b-2，M=b2-1，此时M-m=-b2+1≥4，得b≤-6与0＜b＜2矛盾（舍去）…（8分）
②当2≤b＜4时，f（x）在[1，b]上单调递减，在[b，2]上单调递增，
所以M=max{f(1)，f(2)}=b-2，m=f(b)=2b-3，
则M-m=b-2b+1≥4，得(b-1)2≥4，解得b≥9，与2≤b＜4矛盾（舍去）…（11分）
③当b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，
则M=b-2，m=b2-1，此时M-m=b2-1≥4，得b≥10…（13分）
综上所述，b的取值范围是[10，+∞）…（14分）

解析

2x

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=x+bx-3，x∈[1，2.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）