已知：f(x)=4x2-12x-32x+1，x∈[0，1]，求函数f的单调区间和值域；a≥1，函数g=x3-3a2x-2a，x∈[0，1

题文

（1）已知：f(x)=4x2-12x-32x+1，x∈[0，1]，求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）a≥1，函数g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，判断函数g（x）的单调性并予以证明；
（3）当a≥1时，上述（1）、（2）小题中的函数f（x）、g（x），若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）y=f(x)=2x+1+42x+1-8，设t=2x+1，1≤t≤3
则y=t+4t-8，t∈[1，3].
任取t₁、t₂∈[1，3]，且t₁＜t₂，f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(t1t2-4)t1t2，
当1≤t≤2，即0≤x≤12时，f（x）单调递减；
当2＜t≤3，即12＜x≤1时，f（x）单调递增．
由f(0)=-3，f(12)=-4，f(1)=-113，得f（x）的值域为[-4，-3]．
（2）设x₁、x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-3a²）＞0，
所以g（x）单调递减．
（3）由g（x）的值域为：1-3a²-2a=g（1）≤g（x）≤g（0）=-2a，
所以满足题设仅需：1-3a²-2a≤-4≤-3≤-2a，
解得，1≤a≤32．

解析

42x+1

考点

据考高分专家说，试题“（1）已知：f(x)=4x2-12x-3.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）