对于函数y=f，x∈D，若同时满足以下条件：①函数f是D上的单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函

题文

对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足以下条件：
①函数f（x）是D上的单调函数；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则称函数f（x）是闭函数．
（1）判断函数f(x)=2x+4x，x∈[1，10]；g（x）=-x³，x∈R是不是闭函数，并说明理由；
（2）若函数f(x)=x+2+k，x∈[-2，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′(x)=2-4x2=2(x2-2)x2
令f'（x）=0
解得x=2(x=-2舍）
∵x∈[1，2)时f'（x）＜0；
x∈(2，10]时f'（x）＞0
∴f（x）在[1，2)上是减函数，在(2，10]上是增函数
∴函数f（x）不是[1，10]上的单调函数
∴f(x)=2x+4x不是闭函数．
②∵g'（x）=-x²≤0∴g（x）=-x³在R上是减函数，
设g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则b=-a3a=-b3a＜b，解得a=-1b=1
∴存在区间[-1，1]⊆R，
使f（x）在[-1，1]上的值域也是[-1，1]
∴函数g（x）=-x³是闭函数
（2）函数f(x)=x+2+k在定义域上是增函数
设函数f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则a=k+a+2b=k+b+2，
故a，b是方程x=k+x+2的两个不相等的实根，
命题等价于x2-(2k+1)x+k2-2=0x≥-2x≥k有两个不相等的实根，
当k≤-2时，2k+12＞-2(2k+1)2-4(k2-2)＞022-(2k+1)k+k2-2≥0，
解得k＞-94，∴k∈(-94，-2]．
当k＞-2时，2k+12＞k(2k+1)2-4(k2-2)＞0k2-(2k+1)k+k2-2≥0，无解．
∴k的取值范围是(-94，-2]

解析

4x2

考点

据考高分专家说，试题“对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）