函数f=loga，，求f的定义域；证明在定义域内f是增函数；解方程f=loga

题文

函数f（x）=log_a（a^x-1），（0＜a＜1），
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明在定义域内f（x）是增函数；
（3）解方程f（2x）=log_a（a^x+1） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）要使函数有意义，则a^x-1＞0，即a^x＞1，因为0＜a＜1，所以x＜0．
即函数的定义域为（-∞，0）．
（2）任设x₁＜x₂＜0，
则f(x2)-f(x1)=logaax2-1ax1-1，
因为0＜a＜1，x₁＜x₂＜0，
所以0＜ax2-1＜ax1-1，
即0＜ax2-1ax1-1＜1，所以f(x2)-f(x1)=logaax2-1ax1-1＞0，
所以f（x₂）＞f（x₁），所以函数f（x）在定义域内f（x）是增函数．
（3）由f（2x）=log_a（a^x+1）得loga(ax+1)=loga(a2x-1)，
即a^x+1=a^2x-1，
所以a^2x-a^x-2=0，解得a^x=2，x=log_a2，或者a^x=-1不成立舍去．
所以方程 的根为x=log_a2．

解析

ax2-1ax1-1

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）=loga（ax-1），（0.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）