已知关于x的函数y=(1-t)x-t2x的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f的值域也是[a，b]．当t变化时，b-a的最大值=______．

题文

已知关于x的函数y=(1-t)x-t2x（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f（x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b-a的最大值=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

关于x的函数y=(1-t)x-t2x=（1-t）-t2x 的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
且函数在（-∞，0）、（0，+∞）上都是增函数．
故有a=f（a），且b=f（b），即(1-t)a+t2a=a，(1-t)b+t2b=b．
即 a²+（t-1）a+t²=0，且 b²+（t-1）b+t²=0，
故a、b是方程x²+（t-1）x+t²=0的两个同号的实数根．
由判别式大于0，容易求得t∈（-1，13）．
由韦达定理可得b-a=(t-1)2-4t2=-3t2-2t+1，故当t=-13时，b-a取得最大值为 233，
故答案为 233．

解析

(1-t)x-t2x

考点

据考高分专家说，试题“已知关于x的函数y=(1-t)x-t2x.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）