题文
（本小题14分）已知函数
（Ⅰ）若
且函数
在区间
上存在极值，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）如果当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）求证：
，
……
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）见解析。
解析
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的极值，和不等式的恒成立问题，以及证明不等式。解：（Ⅰ）因为
， x
0，则
，
求解导数，判定函数单调性，得到极值。
因为函数
在区间
（其中
）上存在极值，
得到参数k的范围。
（Ⅱ）不等式
，又
，则
，构造新函数
,则
令
，则
，
分析单调性得到证明。
（Ⅲ）由（2）知：当
时，
恒成立，即
，
，
令
，则
；可以证明。
解：（Ⅰ）因为
， x
0，则
，
当
时，
；当
时，
.
所以
在（0，1）上单调递增；在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极大值；……….2分
因为函数
在区间
（其中
）上存在极值，
所以
解得
；……….4分
（Ⅱ）不等式
，又
，则
，
,则
；……….6分
令
，则
，
，
在
上单调递增，
，
从而
， 故
在
上也单调递增， 所以
，
所以.
；……….8分
（Ⅲ）由（2）知：当
时，
恒成立，即
，
，
令
，则
；……….10分
所以
，
，……
,
n个不等式相加得
即
……….14分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题14分）已知函数（Ⅰ）若且函数在.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
