已知在区间上是增函数，实数组成集合；设关于的方程的两个非零实根实数使得不等式使得对任意及恒成立，则的解集是A．B．C．D．

题文

已知

在区间

上是增函数，实数

组成集合

；设关于

的方程

的两个非零实根

实数

使得不等式

使得对任意

及

恒成立，则

的解集是（   ）A．

B．

C．

D．

题型：未知 难度：其他题型

答案

A

解析

∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f'（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．①
设φ（x）=x²-ax-2，
方法一：①⇔φ(1)=1-a-2≤0且φ(-1)=1+a-2≤0⇔-1≤a≤1，
∵对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（-1）=0以及当a=-1时，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
方法二：
①⇔

，φ(-1)=1+a-2≤0或

，φ(1)=1-a-2≤0⇔0≤a≤1或-1≤a≤0
⇔-1≤a≤1．
∵对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（-1）=0以及当a=-1时，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
由

=

，得x²-ax-2=0，∵△=a²+8＞0，∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两非零实根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，从而|x₁-x₂|==

=

∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=

≤3．
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．②
设g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
方法一：
②⇔g（-1）=m²-m-2≥0，g（1）=m²+m-2≥0，
⇔m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．,
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
②⇔m＞0，g（-1）=m²-m-2≥0或m＜0，g（1）=m²+m-2≥0
⇔m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．,选A.
点评：解决该试题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于a的不等式恒成立再看成关于t的一次不等式恒成立，让两端点大等于零，以及函数单调递增导数大于等于零列出不等式解之

考点

据考高分专家说，试题“已知在区间上是增函数，实数组成集合；设关.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）