题文
已知函数
，
，(
为自然对数的底数)．
（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；
（Ⅱ）函数
在区间
上恒为正数，求
的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的
，在
上总存在两个不同的
，使得
成立，求
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）的单调减区间为
，单调增区间为
（Ⅱ）
（Ⅲ）
解析
（Ⅰ）函数f (x)的定义域为
，
当
时，
由
， 由
．
故
的单调减区间为
，单调增区间为
． ……4分
（Ⅱ）
在
恒成立等价于：
在
恒成立，
令
则
，x∈
,
于是
在
上为减函数，又在x=e处连续,
故在
,
从而要使
对任意的
恒成立．
只要
，故
的最小值为
． ……9分
（Ⅲ）一次函数
在
上递增，故函数
在
上的值域是
．
当
时，
为单调递减函数，不合题意；
当
时，
，
要使
在
不单调，只要
，此时
①
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
注意到
时，
∴
∴对任意给定的
，在区间
上总存在两个不同的
使得
成立，当且仅当
满足下列条件
，即
令
，
当
时，
函数
单调递增；
当
时，
函数
单调递减．
所以，当
时有
即
对任意
恒成立．
又由
，解得
……②
∴ 综合①②可知，当
时，对任意给定的
，在
上总存在两个不同的
，使
成立． ……14分
点评：导数是研究函数性质的有力工具，研究单调性、极值、最值时不要忘记先求函数的定义域，而不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值问题解决，分类讨论时要注意分类标准要不重不漏.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，，(为自然对数的底数)．（Ⅰ）.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
