题文
已知
,函数
.
（1）当
时，画出函数
的大致图像；
（2）当
时，根据图像写出函数
的单调减区间，并用定义证明你的结论；
（3）试讨论关于x的方程
解的个数. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.解析
（1）当a=2时，
，作出图象；
（2）由（1）写出函数y=f（x）的单调递增区间，再根据单调性定义证明即可；
（3）由题意知方程
的解得个数等价于函数
的图像与直线
的交点个数.即函数
的图象与直线
的交点个数.
试题解析：（1）如图所示
3分
（2）
单调递减区间：
4分
证明：设任意的
5分
因为
，所以
于是
，即
6分
所以函数
在
上是单调递减函数 7分
(3) 由题意知方程
的解得个数等价于函数
的图像与直线
的交点个数.即函数
的图象与直线
的交点个数
又
，注意到
，
当且仅当
时，上式等号成立，借助图像知 8分
所以，当
时，函数
的图像与直线
有1个交点； 9分
当
，
时，函数
的图像与直线
有2个交点； 10分
当
，
时，函数
的图像与直线
有3个交点；12分.
考点
据考高分专家说，试题“已知,函数.（1）当时，画出函数的大致图.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
