求下列函数的值域：(1) y＝x－；(2) y＝x2－2x－3，x∈(－1，4]；(3) y＝，x∈[3，5]；(4) y＝(x>1)．

题文

求下列函数的值域：
(1) y＝x－

；
(2) y＝x²－2x－3，x∈(－1，4]；
(3) y＝

，x∈[3，5]；
(4) y＝

 (x>1)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

（2）[－4，5]．（3）

（4）[2

－2，＋∞)．

解析

(1) (换元法)设

＝t，t≥0，则y＝

 (t²＋2)－t＝



²－

，当t＝

时，y有最小值－

，故所求函数的值域为

.
(2) (配方法)配方，得y＝(x－1)²－4，因为x∈(－1，4]，结合图象知，所求函数的值域为[－4，5]．
(3) (解法1)由y＝

＝2－

，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以y_max＝

，y_min＝

，故所求函数的值域是

.
(解法2)由y＝

，得x＝

.因为x∈[3，5]，所以3≤

≤5，解得

≤y≤

，
即所求函数的值域是

.
(4) (基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t>0)，
所以y＝

＝t＋

－2(t>0)．
因为t＋

≥2

＝2

，当且仅当t＝

，即x＝

＋1时，等号成立，
故所求函数的值域为[2

－2，＋∞)．

考点

据考高分专家说，试题“求下列函数的值域：(1) y＝x－；(2.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）