已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB=？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

题文

已知集合A=

B

，试问是否存在实数a，使得A

B=

？
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

存在满足条件A

B=

的实数a,其取值范围是（-4，+∞）

解析

方法一 假设存在实数a满足条件A

B=

，则有
（1）当A≠

时，由A

B

B=

，知集合A中的元素为非正数，
设方程x²+(2+a)x+1=0的两根为x₁,x₂,则由根与系数的关系，得



（2）当A=

时，则有△=(2+a)²-4＜0，解得-4＜a＜0.
综上（1）、（2），知存在满足条件A

B=

的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.
方法二 假设存在实数a满足条件A

B≠

，则方程x²+(2+a)x+1=0的两实数根x₁,x₂至少有一个为正，
因为x₁·x₂=1＞0，所以两根x₁,x₂均为正数.
则由根与系数的关系，得

解得


又∵集合

的补集为

∴存在满足条件A

B=

的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.

考点

据考高分专家说，试题“已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：