已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有2Sn=an-1．求数列{an}的通项公式；设Tn=1a1•a3+1a2•a4+…+

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n都有2S_n=（n+2）a_n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn=1a1•a3+1a2•a4+…+1an•an+2，求limn→∞Tn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）法一：在2S_n=（n+2）a_n-1中，
令n=1，得2a₁=3 a₁-1，求得a₁=1，
令n=2，得2（a₁+a₂）=4a₂-1，求得a₂=32；
令n=3，得2（a₁+a₂+a₃）=5 a₃-1，求得a₃=2；
令n=4，得2（a₁+a₂+a₃+a₄）=6 a₄-1，求得a₄=52．
由此猜想：a_n=n+12．  …
下面用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，a₁=1+12=1，命题成立．
（2）假设当n=k时，命题成立，即a_k=k+12，且2S_k=（k+2）a_k-1，则由2S_k+1=（k+3）a_k+1-1及S_k+1=S_k+a_k+1，得（k+3）a_k+1-1=2S_k+2a_k+1，即（k+3）a_k+1-1=[（k+2）a_k-1]+2a_k+1．则a_k+1=(k+2)akk+1=k+22，这说明当n=k+1时命题也成立．根据（1）、（2）可知，对一切n∈N^*命题均成立．                        …（6分）
法二：在2S_n=（n+2）a_n-1中，令n=1，求得a₁=1．
∵2S_n=（n+2）a_n-1，
∴2S_n-1=（n+1）a_n-1-1．  
当n≥2时，两式相减得：2（S_n-S_n-1）=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
即  2 a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1整理得，anan-1=n+1n． …（3分）
∴a_n=anan-1•an-1an-2•…•a3a2•a2a1•a₁=n+1n•nn-1•…•43•32•1=n+12．   
当n=1时，a_n=1+12，满足上式，
∴a_n=n+12．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n+12，
则1an•an+2=4(n+1)(n+3)=2（1n+1-1n+3），
∴Tn=1a1•a3+1a2•a4+…+1an•an+2
=2[（12-14）+（13-15）+（14-16）+…+（1n-1n+2）+（1n+1-1n+3）]
=2（12+13-1n+2-1n+3）．
∴limn→∞Tn=53．

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。