已知函数f(x)=log33x1-x，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f图象上的两点，横坐标为12的点P是M，N的中点．求证：y1+y2为定值；

题文

已知函数f(x)=log33x1-x，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为12的点P是M，N的中点．
（1）求证：y₁+y₂为定值；
（2）若Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)（n∈N^*，n≥2），求limn→∞4Sn-9Sn4Sn+1+9Sn+1的值；
（3）在（2）的条件下，若an=16，n=114(Sn+1)(Sn+1+1)，n≥2（n∈N^*），T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由已知P是MN的中点，有x₁+x₂=1，
∴y1+y2=log33x11-x1+log33x21-x2=log33x1x21-(x1+x2)+x1x2=1…4分
（2）由（1）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1．
∵Sn=f(1n)+f(2n)…+f(n-1n)①，Sn=f(n-1n)+…+f(2n)+f(1n)②
①+②得Sn=n-12…8分
∴limn→∞4Sn-9Sn4Sn+1+9Sn+1=limn→∞2n-1-3n-12n+3n=-13…12分
（3）当n≥2时，an=14×n+12•n+22=1n+1-1n+2．
又当n=1时，a1=16，所以an=1n+1-1n+2…14分
故Tn=(12-13)+(13-14)+…+(1n+1-1n+2)=n2(n+2)…16分
∵T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，即m＞TnSn+1+1=n(n+2)2恒成立
又n(n+2)2=1n+4n+4≤18，所以m的取值范围是(18，+∞)…18分．

解析

3x11-x1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=log33x1-x，M.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。