题文
已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)•f(y)，且f(1)=12．（1）当x∈N+时，求f（n）的表达式；
（2）设an=nf(n) (n∈N+)，求证：a1+a2+…+an＜2；
（3）设bn=nf(n+1)f(n) &(n∈N+)，Sn=b1+b2+…+bn，求limn→∞(1S1+1S2+…+1Sn)． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）令x=n，y=1，得到f（n+1）=f（n）•f（1）=12f(n)
∵f（n+1）=12f（n），f(1)=12，
∴{f（n）}是首项为12，公比为12的等比数列，
由等比数列前n项和公式，知
∴f（n）=12 n．
（2）∵f（n）=12 n，∴an=nf(n)=n×12 n=n2n．
设Sn=a1+a2+…+an，
则Sn=12+222+…+n-12 n-1+n2n，
两边同乘12，
得12Sn=122+22 3+…+n-12 n+n2 n+1，
错位相减，得12Sn=12+12 2+123+…+12 n-n2 n+1
=12(1-12 n)1-12-n2 n+1
=1-12 n-n2 n+1，
∴Sn=2-12 n-1-n2 n+1＜2．
所以a1+a2+…+an＜2．
（3）∵bn=nf(n+1)f(n)=n×12 n+112 n=n2
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn
=12+22+32+…+n2
=n(n+1)4．
∴1S1+1S2+1S3+…+1Sn
=4[(1-12)+(12-13)+(13-14 )+…+(1n-1n+1 )]
=4（1-1n+1），
∴limn→∞(1S1+1S2+…+1Sn)=limn→∞4(1-1n+1)=4．
解析
12考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限数列的极限定义（描述性的）：
如果当项数n无限增大时，无穷数列
的项an无限地趋近于某个常数a（即
无限地接近于0），a叫数列
的极限，记作
，也可记做当n→+∞时，an→a。
数列的极限严格定义：
即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切an都满足
，a叫数列
的极限。
数列极限的四则运算法则：
若
，则
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。
an无限接近于a的方式有三种：
第一种是递增的数列，an无限接近于a，即an是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，
；
第二种是递减数列，an无限地趋近于a，即an是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是
；
第三种是摆动数列，an无限地趋近于a，即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，
。
一些常用数列的极限：
（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当
时，
；
（3）当|q|＜1时，
；当q＞1时，
不存在；
（4）
不存在，
。
（5）无穷等比数列{an}中，首项a1，公比q，前n项和Sn，各项之和S，则
（只有在0＜|q|＜1时）。
