已知公比为q的无穷等比数列{an}各项的和为9，无穷等比数列{an2}各项的和为815．求数列{an}的首项a1和公比q；对给定的k（

题文

已知公比为q（0＜q＜1）的无穷等比数列{a_n}各项的和为9，无穷等比数列{a_n²}各项的和为815．
（1）求数列{a_n}的首项a₁和公比q；
（2）对给定的k（k=1，2，3，…，n），设T^（k）是首项为a_k，公差为2a_k-1的等差数列，求T^（2）的前2007项之和；
（3）（理）设b_i为数列T^（i）的第i项，S_n=b₁+b₂+…+b_n：
①求S_n的表达式，并求出S_n取最大值时n的值．
②求正整数m（m＞1），使得limn→∞Snnm存在且不等于零．
（文）设b_i为数列T^（i）的第i项，S_n=b₁+b₂+…+b_n：求S_n的表达式，并求正整数m（m＞1），使得limn→∞Snnm存在且不等于零． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意可知，a11-q=9a211-q2=815⇒a1=3q=23．
（2）由（1）知，an=3×(23)n-1，所以数列T^（2）的首项为t₁=a₂=2，公差d=2a₂-1=3，S2007=2007×2+12×2007×2006×3=6043077，即数列的前2007项之和为6043077．
（3）（理）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=3(2i-1)(23)i-1-(i-1)；
①Sn=45-(18n+27)(23)n-n(n-1)2；
由bn≥bn-1bn≥bn+1，解得n=2，
计算可得b1=3，b2=5，b3=143，b4=299，b5=43，b6=-5381＜0，
因为当n≥2时，b_n＞b_n+1，所以S_n当n=5时取最大值．
②limn→∞Snnm=limn→∞45nm-18n+27nm(23)n-n(n-1)2nm，
当m=2时，limn→∞Snnm=-12，当m＞2时，limn→∞Snnm=0，所以m=2．
（文）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=3(2i-1)(23)i-1-(i-1)；Sn=45-(18n+27)(23)n-n(n-1)2；limn→∞Snnm=limn→∞45nm-18n+27nm(23)n-n(n-1)2nm，
当m=2时，limn→∞Snnm=-12，当m＞2时，limn→∞Snnm=0，所以m=2．

解析

a11-q=9a211-q2=815

考点

据考高分专家说，试题“已知公比为q（0＜q＜1）的无穷等比数列.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。