数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，xn+1=12(xn+axn)，n∈N．证明：对n≥2，总有xn≥a；证明：对n≥2，总有xn≥xn+1；

题文

数列{x_n}由下列条件确定：x₁=a＞0，x_n+1=12(xn+axn)，n∈N．
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有x_n≥a；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有x_n≥x_n+1；
（Ⅲ）若数列{x_n}的极限存在，且大于零，求limn→∞x_n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（Ⅰ）由x₁=a＞0，及x_n+1=12(xn+axn)，
可归纳证明x_n＞0．
从而有x_n+1=12(xn+axn)≥xn•axn=a（n∈N），
所以，当n≥2时，x_n≥a成立．
（Ⅱ）证法一：当n≥2时，
因为x_n≥a＞0，x_n+1=12(xn+axn)
所以x_n+1-x_n=12(xn+axn)-xn=12•a-x2nxn≤0，
故当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
证法二：当n≥2时，因为x_n≥a＞0，x_n+1=12(xn+axn)，
所以xn+1xn=12(xn+axn)xn=x2n+a2x2n≤x2n+x2n2x2n=1，
故当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
（Ⅲ）记_limn→∞x_n=A，则_limn→∞x_n+1=A，且A＞0．
由x_n+1=12(xn+axn)，得A=12(A+aA)．
由A＞0，解得A=a，故limn→∞x_n=a．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。