已知函数f(x)=2x2+1(x＞0)，数列{an}满足a1=1，当n≥2时，an=f求an；若bn=2nan+an+1，若Sn=b1+

题文

已知函数f(x)=2x2+1(x＞0)，数列{a_n}满足a₁=1，当n≥2时，a_n=f（a_n-1）
（1）求a_n； 
（2）若bn=2nan+an+1，若S_n=b₁+b₂+…+b_n，求limn→∞bn•Sn(an)2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n=f（a_n-1）
∴a_n²+1=2（a_n-1²+1）
∴{a_n²+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n²+1=2ⁿ
∴an=2n-1
（2）∵bn=2nan+an+1
∴bn=2n+1-1-2n-1
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=2n+1-1-1
∴limn→∞  (2n+1-1-2n-1)• (2n+1-1-1)( 2n-1)2=2-2

解析

2n-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x2+1(x＞0)，.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。