已知等比数列{an}的首项a1=1，公比为x，其前n项和为Sn．求函数f(x)=limn→+∞SnSn+1的解析式；解不等式f(x)＞10

题文

已知等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比为x（x＞0），其前n项和为S_n．
（1）求函数f(x)=limn→+∞SnSn+1的解析式；
（2）解不等式f(x)＞10-3x8． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当x=1时，S_n=n，S_n+1=n+1，
f（x）=limn→+∞nn+1=1；…（2分）
当x＞0且x≠1时，Sn=1-xn1-x，
f(x)=limn→+∞1-xn1-xn+1，…（4分）
若0＜x＜1，
f（x）=1；…（5分），
若x＞1，则f(x)=1x，…（6分）
综上，f(x)=1    (0＜x≤1)1x   (x＞1)…（7分）
（2）当0＜x≤1时，
由1＞10-3x8，得23＜x≤1；…（10分）
当x＞1时，
由1x＞10-3x8，得1＜x＜43或x＞2．…（13分）
综上可得原不等式的解集为(23 ， 43 )∪( 2 ， +∞)．…（14分）

解析

limn→+∞

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的首项a1=1，公比.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。