已知数列{an}的前n项的“均倒数”为12n+1，求{an}的通项公式；已知bn=tan，数列{bn}的前n项为Sn，求

题文

已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”（即平均数的倒数）为12n+1，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）已知b_n=tan（t＞0），数列{b_n}的前n项为S_n，求limn→∞Sn+1Sn的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）数列{a_n}的前n项的“均倒数”（即平均数的倒数）为12n+1，
所以a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1）
两式相减，得 a_n=4n-1，n≥2，a₁=3∴a_n=4n-1n∈N
（2）因为b_n=tan（t＞0），b_n=t^4n-1，S_n=t³+t⁷+…+t^4n-1（t＞0），
当t=1时，S_n=n，limn→∞Sn+1Sn=1；
当t＞1时，limn→∞Sn+1Sn=limn→∞1-t4n+41-t4n=t4；
当0＜t＜1时，limn→∞Sn+1Sn=1．
综上得，limn→∞Sn+1Sn=1  (0＜t≤1)t4   (t＞1)

解析

12n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项的“均倒数”（即.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。