已知一次函数y=f的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f=0，若点A(n，an+1an)在C上，a1=1，当n≥2时，an+1an-a

题文

已知一次函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f（1）=0，若点A(n ，an+1an)（n∈N^*）在C上，a₁=1，当n≥2时，an+1an-anan-1=1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设Sn=a13!+a24!+a35!+…+an(n+2)!，求limn→∞Sn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意C过点（0，1），所以设C方程为y=kx+1．
因为点A(n ， an+1an)（n∈N^*）在C上，所以an+1an=kn+1，
代入an+1an-anan-1=1，得k=1，故an+1an=n+1．
∴anan-1=n，an-1an-2=n-1，…，a2a1=2，且a₁=1，
各式相乘得a_n=n!．
（2）∵an(n+2)!=n!(n+2)!=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2，
∴Sn=12-13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2，
∴limn→∞Sn=12．

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知一次函数y=f（x）的图象关于直线y.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。