设数列{un}是公差不为零的等差数列，|u11|=|u51|，u20=22，设{un}的前n项和为Sn，{|un|}的前n项和为Tn．求u31值；求

题文

设数列{u_n}是公差不为零的等差数列，|u₁₁|=|u₅₁|，u₂₀=22，设{u_n}的前n项和为S_n，{|u_n|}的前n项和为T_n．
（1）求u₃₁值；
（2）求T_n的表达式；
（3）求limn→∞SnTn的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵|u₁₁|=|u₅₁|且d≠0
∴u₁₁=-u₅₁
由等差数列的性质可得，u₁₁+u₅₁=2u₃₁=0
∴u₃₁=0
（2）由（1）可得u₁=-30d
∴u₂₀=u₁+19d=-11d=22
∴d=-2，u₁=60，u_n=60+（n-1）×（-2）=-2n+62
∴Sn=60n+n(n-1)2×(-2)=-n²+61n
当n≤31，T_n=|u₁|+…+|u_n|=u₁+u₂+…+u_n=S_n=-n²+61n
n≥32，T_n=|u₁|+|u₂|+…+|u₃₁|+…+|u_n|
=u₁+u₂+…+u₃₁-（u₃₂+…+u_n）
=S₃₁-（S_n-S₃₁）=2S₃₁-S_n=n²-61n+1860
（3）limn→∞TnSn=limn→∞61n-n2n2-61n+1860=limn→∞61n-11-61n+1860n2=-1

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{un}是公差不为零的等差数列，|.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。