已知数列{an}为等差数列，公差为d，{bn}为等比数列，公比为q，且d=q=2，b3+1=a10=5，设cn=anbn．求数列{cn}的通项公式；

题文

已知数列{a_n}为等差数列，公差为d，{b_n}为等比数列，公比为q，且d=q=2，b₃+1=a₁₀=5，设c_n=a_nb_n．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，
（3）（理）求limn→∞nbnSn的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁₀=5，d=2，∴a_n=2n-15．
又∵b₃=4，q=2，∴b_n=2^n-1，∴c_n=（2n-15）•2^n-1．
（2）∵S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，∴2S_n=2c₁+2c₂+2c₃+…+2c_n，
错位相减，得-S_n=c₁+（c₂-2c₁）+（c₃-2c₂）+…+（c_n-2c_n-1）-2c_n．
∵c₁=-13，c_n-2c_n-1=2ⁿ，
∴-S_n=-13+2²+2³+…+2ⁿ-（2n-15）•2ⁿ=-13+4（2^n-1-1）-（2n-15）•2ⁿ
=-17+2ⁿ⁺¹-（2n-15）•2ⁿ∴S_n=17+（2n-17）•2ⁿ．
∴limn→∞nbnSn=limn→∞ n•2n-117+(2n-17)•2n
=limn→∞ n172n-1+(2n-17)•2=14．

解析

limn→∞

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}为等差数列，公差为d，{.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。