设2n=a0+a1x+a2x2+…+a2n-1x2n-1+a2nx2n，则limn→∞[2-（a1+a3+a5…+a

题文

设（22+x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ，则limn→∞[（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）²-（a₁+a₃+a₅…+a_2n-1）²]=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

令x=1可得，(1+22)2n=a0+a1+…+a2n
x=-1可得，(22-1)2n=a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n
所以（a₀+a₂+…+a_2n）²-（a₁+a₃+…+a_2n-1）²
=（a₀+a₁+…+a_2n）（a₀-a₁+…-a_2n-1）
=(1+22)2n•(1-22)2n=(14)n
则limn→∞[（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）²-（a₁+a₃+a₅…+a_2n-1）²]=limn→∞14n=0
故答案为：0

解析

22

考点

据考高分专家说，试题“设（22+x）2n=a0+a1x+a2x.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。