已知数列{An}的前n项和为Sn，a1=1，满足下列条件①∀n∈N*，an≠0；②点Pn在函数f=x2+x2的图象上；求数列{an}的

题文

已知数列{A_n}的前n项和为S_n，a₁=1，满足下列条件
①∀_n∈N^*，a_n≠0；
②点P_n（a_n，S_n）在函数f（x）=x2+x2的图象上；
（I）求数列{a_n}的通项a_n及前n项和S_n；
（II）求证：0≤|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意Sn=an2+an2，
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=an2+an2-an-12+an-12，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
又∀n∈N^*，a_n≠0，所以a_n+a_n-1=0或a_n-a_n-1-1=0，
当a_n+a_n-1=0时，a₁=1，anan-1=-1，
得an=(-1)n-1，Sn=1-(-1)n2；
当a_n-a_n-1-1=0时，a₁=1，a_n-a_n-1=1，
得a_n=n，Sn=n2+n2．
（II）证明：当a_n+a_n-1=0时，Pn((-1)n-1，1-(-1)n2)，
|P_n+1P_n+2|=|P_nP_n+1|=5，所以|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|=0，
当a_n-a_n-1-1=0时，Pn(n，n2+n2)，
|P_n+1P_n+2|=1+(n+2)2，|P_nP_n+1|=1+(n+1)2，
|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|=1+(n+2)2-1+(n+1)2
=1+(n+2)2-1-(n+1)21+(n+2)2+1+(n+1)2
=2n+31+(n+2)2+1+(n+1)2，
因为1+(n+2)2＞n+2，1+(n+1)2＞n+1，
所以0＜2n+31+(n+2)2+1+(n+1)2＜1，
综上0≤|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|＜1．

解析

an2+an2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{An}的前n项和为Sn，a1=.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。