已知各项均不相等的正项数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．若{an}，{bn}为等差数列，求证：limn→∞anbn=limn→∞SnTn．

题文

已知各项均不相等的正项数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n．
（1）若{a_n}，{b_n}为等差数列，求证：limn→∞anbn=limn→∞SnTn．
（2）将（1）中的数列{a_n}，{b_n}均换作等比数列，请给出使limn→∞anbn=limn→∞SnTn成立的条件． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：设{a_n}，{b_n}的公差分别为d₁，d₂（d₁，d₂均不为0），则limx→∞anbn=limx→∞a1+(n-1)d1b1+(n-1)d2=d1d2，…（4分）limx→∞SnTnlimx→∞na1+n(n-1)2d1nb1+n(n-1)2d2=d1d2，
所以limx→∞anbn=limx→∞SnTn．…（8分）
（2）设{a_n}，{b_n}的公比分别为q₁，q₂（q₁，q₂均为不等于1的正数），则limn→∞anbn=limn→∞a1q1n-1b1q2n-1=a1b1limn→∞(q1q2)n-1=a1b1(q1=q2)0(q1＜q2).…（11分）limn→∞SnTn=a1(1-q2)b1(1-q1)limn→∞1-q1n1-q2n=a1b1(q1=q2)a1(1-q2)b1(1-q1)(0＜q1＜1，0＜q2＜1)0(0＜q1＜q2，q2＞1).…（14分）
所以使limx→∞anbn=limx→∞SnTn成立的条件是0＜q₁＜q₂，q₂＞1或q₁=q₂．…（16分）

解析

limx→∞

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均不相等的正项数列{an}，{b.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。