定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f≤f(x1)+f(x2)2的所有函数f组成的集合记为M，例如，函数f=kx+b∈M．

题文

定义域为R，且对任意实数x₁，x₂都满足不等式f（x1+x22）≤f(x1)+f(x2)2的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．
（1）已知函数f（x）=x，x≥012x，x＜0，证明：f（x）∈M；
（2）写出一个函数f（x），使得f（x₀）∉M，并说明理由；
（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限limn→∞f(n)n2=1，limn→∞f(-n)-n=1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由题意，当x₁≤x₂≤0或0≤x₁≤x₂时，f（x1+x22）≤f(x1)+f(x2)2成立
设x₁≤0≤x₂，且x1+x22＜0，
∵f(x1)+f(x2)2-f（x1+x22）=12(12x1+x2)-12•x1+x22=x24≥0
∴f（x1+x22）≤f(x1)+f(x2)2成立
设x₁≤0≤x₂，且x1+x22≥0，
∵f(x1)+f(x2)2-f（x1+x22）=12(12x1+x2)-12•x1+x22=-x14≥0
∴f（x1+x22）≤f(x1)+f(x2)2成立
∴综上所述，f（x）∈M；
（2）如函数f（x）=-x²，f（x）∉M
取x₁=-1，x₂=1，则f(x1)+f(x2)2=-1，f（x1+x22）=0
此时f（x1+x22）≤f(x1)+f(x2)2不成立；
（3）f（x）=x2，x≥1x，x＜1满足f（x）∈M，且limn→∞f(n)n2=limn→∞n2n2=1，limn→∞f(-n)-n=limn→∞-n-n=1．

解析

x1+x22

考点

据考高分专家说，试题“定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。