已知向量a=(x2+1，-x)，b=(1，2n2+1) ，函数f(x)=a•b，设f在上取最小值时的自变量x取值为an．（

题文

（文）已知向量a=(x2+1，-x)，b=(1，2n2+1) （n为正整数），函数f(x)=a • b ，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}，其中b_n=a_n+1²-a_n²，设S_n为数列{b_n}的前n项和，求limn→∞SnC2n；
（3）已知点列A₁（1，a₁²）、A₂（2，a₂²）、A₃（3，a₃²）、…、A_n（n，a_n²）、…，设过任意两点A_i，A_j（i，j为正整数）的直线斜率为k_ij，当i=2008，j=2010时，求直线A_iA_j的斜率． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）=a•b= (x2+1，-x)• (1，2n2+1)=x²-2n2+1x+1（2分）
抛物线的顶点横坐标为x=n2+1＞0，
开口向上，在（0，+∞）上当x=n2+1时函数取得最小值，所以an=n2+1；（4分）
（2）∵b_n=a_n+1²-a_n²=（n+1）²+1-（n²+1）=2n+1．
是首项为3，公差为2的等差数列，
所以：S_n=n(3+2n+1)2=n²+2n；
∴Snc2n=n2+2nn(n-1)2=2n+4n-1=2+4n1-1n．
∴limn→∞SnC2n=2．
（3）∵A₂₀₀₈（2008，a₂₀₀₈²），A₂₀₁₀（2010，2010_n²），
∴k=a20102-a200822010-2008=20102+1-(20082+1)2010-2008=4018．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“（文）已知向量a=(x2+1，-x)，b.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。