在数列{an}中，a1=1，当n∈N*时，an+1=(1n+1)an．数列{an}的前n项和为Sn，则limn→∞S2nSn=______．

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，当n∈N^*时，an+1=(1n+1)an．数列{a_n}的前n项和为S_n，则limn→∞S2nSn=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a₁=1，当n∈N^*时，an+1=(1n+1)an，
∴a₂=2a₁=2，
a3=32a2=3，
a4=43a3=4，
…
∴a_n=n，
∴S_n=1+2+3+…+n=n(n+1)2，
S2n=1+2+3+…+2n=2n(2n+1)2，
∴limn→∞S2nSn=limn→∞2n(2n+1)2n(n+1)2=4．
故答案为：4．

解析

1n

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，当n∈N*时.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。