设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(m+1)－man对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1.(1)求证:{an}是等比数列；(2)设数列{an}

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=(m+1)－ma_n

 对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1.
(1)求证:{a_n}是等比数列；
(2)设数列{a_n}的公比q=f(m)，数列{b_n}满足:b₁=

a₁,b_n=f(b_n－1)(n≥2,n∈N^*). 试问当m为何值时，

成立？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) 证明略，(2)

解析

(1）由已知S_n+1=(m+1)－ma_n+1 ①， S_n=(m+1)－ma_n ②,
由①－②，得a_n+1=ma_n－ma_n+1，即(m+1)a_n+1=ma_n对任意正整数n都成立.
∵m为常数，且m＜－1
∴

，即{

}为等比数列.
(2)当n=1时，a₁=m+1－ma₁，∴a₁=1，从而b₁=



 
由(1)知q=f(m)=

，∴b_n=f(b_n－1)=

 (n∈N^*,且n≥2)
∴

，即

，
∴{

}为等差数列。 ∴

=3+(n－1)=n+2，


(n∈N^*).







.

考点

据考高分专家说，试题“ 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。