设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0有两个实根x1，x2，求的值；求证：x1＜-1且x2＜-1；若x1x

题文

设关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂，
（1）求（1+x₁）（1+x₂）的值；
（2）求证：x₁＜-1且x₂＜-1；（3）若x1x2∈[110，10]，试求a的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂，
由韦达定理可得x₁+₂=-1a，x_1•x₂=1a，
（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁•x₂=1-1a+1a=1
（2）由方程的△≥0，可推得二次函数f（x）=ax²+x+1图象的对称轴
x=-12a＜-1，又由于f（-1）=a＞0，
所以f（x）的图象与x轴的交点均位于（-1，0）的左侧，故得证；
（3）结合（1）的结论可得，-1x2∈[111，1011]，
而a=1x1x2=-[(-1x2)-12]2+14．
所以a的最大值为14．

解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0.....”主要考查你对 [一元一次方程及其应用 ]考点的理解。 一元一次方程及其应用

一元一次方程的定义：

在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程。注：主要用于判断一个等式是不是一元一次方程。

一元一次方程标准形式:

只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。其中a是未知数的系数，b是常数，x是未知数。未知数一般设为x，y，z。

一元一次方程的分类：

1、总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如：x+2x+3x=62、等式两边都含未知数。如：302x+400=400x，40x+20=60x.

方程特点:

（1）方程为整式方程。
（2）方程有且只含有一个未知数。
（3）方程中未知数的最高次数是1。

一元一次方程判断方法:

通过化简，只含有一个未知数，且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为ax+b=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。

一元一次方程必须同时满足4个条件：

⑴它是等式；
⑵分母中不含有未知数；
⑶未知数最高次项为1；
⑷含未知数的项的系数不为0。