已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sn=a1+a2q+…+anqn-1，Tn=a1-a2q+… +(-1)n-1anqn-1，q≠0，n∈N*，

题文

已知等差数列{a_n}的公差d不为0，设S_n=a₁+a₂q+…+a_nq^n-1，T_n=a₁-a₂q+… +(-1)^n-1a_nq^n-1，q≠0，n∈N*，
(Ⅰ)若q=1，a₁=1，S₃=15，求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅱ)若a₁=d且S₁，S₂，S₃成等比数列，求q的值；
(Ⅲ)若q≠±1，证明

，n∈N*。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)由题设知，S₃=a₁+(a₁+d)q+(a₁+2d)q²，
将q=1，a₁=1，S₃=15代入上式，解得d=4，
所以，a_n=4n-3，n∈N*。
(Ⅱ)当a₁=d时，S₁=d，S₂=d+2dq，S₃=d+2dq+3dq²，
因为S₁，S₂，S₃成等比数列，所以S₂²=S₁S₃，
即(d+2dq)²=d(d+2dq+3dq²)，
注意到d≠0，整理得q²+2q=0，
因为q≠0，
解得q=-2。
(Ⅲ)证明：由题设知，
S_2n=a₁+a₂q+a₃q²+a₄q³+…+a_2nq^2n-1， ①
T_2n=a₁-a₂q+a₃q²-a₄q³+…-a_2nq^2n-1， ②
①式减去②式，得S_2n-T_2n=2(a₂q+a₄q³+…+a_2nq^2n-1)，
①式加上②式，得S_2n+T_2n=2(a₁+a₃q²+…+a_2n-1q^2n-2)，③
③式两边同乘q，得 q（S_2n+T_2n）=2（a₁q+a₃q³+…+a_2n-1q^2n-1），
所以，（1-q)S_2n-(1+q) T_2n=(S_2n-T_2n)-q(S_2n+T_2n)
=2d（q+q³+…+q^2n-1）


。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差d.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。