已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=an+1，求数列{an}的通项an；求数列{n2an}的前n

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=

a_n+1（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若存在n∈N*，使得a_n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）因为

，
所以

，
两式相减得

，
所以

，
因此数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列，
所以

，
故

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当n≥2时，

，
当n≥2时，

，
∴

，
两式相减得

，
又∵T₁=a₁=1也满足上式，
所以

；
（Ⅲ）a_n≥（n+1）λ等价于

，
由（Ⅰ）可知当n≥2时，

，
设

（n≥2，n∈N⁺），
则f（n+1）-f（n）=

，
∴

，
又

，
∴所求实数λ的取值范围为

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。