已知数列{an}中，a1=1，a2=a-1，其前n项和为Sn，且当n≥2时，S2n=Sn-1Sn+1。求数列{an}的通项公

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=a-1（a≠0且a≠1），其前n项和为S_n，且当n≥2时，S²_n=S_n-1S_n+1。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a=4，令

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，设λ是整数，问是否存在正整数n，使等式

成立？若存在，求出n和相应的λ 值；若不存在，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵n≥2时，



∴


又S₁=1≠0，S₂=a₁+a₂=a≠0，
∴{S_n}是首项为1，公比q=a的等比数列
∴


当n≥2时，


又a₁=S₁=1
∴

。
（2）当a=4，n≥2时



此时











}
又


∴


故


当n≥2时，T_n=b₁+b₂+…+b_n



=





若n=1，则等式

不是整数，不符合题意；
若n≥2，则等式

为





 ∵λ是整数，
∴

必是5的因数
∵n≥2时， ∴

≥5
当且仅当n=2时，

是整数，从而λ=4是整数，符合题意
综上可知，当且仅当λ=4时，存在正整数n=2，使等式

成立。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。