已知数列{an}中，a1=t，a2=t2，若x=是函数f=an-1x3-3[an-an+1]x+1的一个

题文

已知数列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²（t>0且t≠1），若x=

是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点。
（Ⅰ）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记

，当t=2时，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n>2008的n的最小值；
（Ⅲ）当t=2时，求证：对于任意的正整数n，有

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）

，
由题意

，即

，
∴

，
∵t>0且t≠1，
∴数列

是以

为首项，t为公比的等比数列，
∴

，
∴





以上各式两边分别相加得

，
∴

，
当n=1时，上式也成立，
∴

；
（Ⅱ）当t=2时，

，
∴





由

，得

，

，
当

时，

，
当

时，

，
因此n的最小值为1005；
（Ⅲ）∵

，
∴

<

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=t，a2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。